\chapter{概率论与数理统计的历史发展}

	\begin{abstract}
		本文系统梳理了概率论与数理统计从17世纪至今的发展历程。通过历史分期的方法，我们考察了古典概率论的形成、数学理论的严格化、公理化体系的建立以及现代统计方法的发展等关键阶段。特别关注了柯尔莫哥洛夫公理化体系对概率论基础的影响，以及费希尔等人对现代统计学的奠基性贡献。研究表明，概率统计的发展始终与实际问题紧密相连，其理论体系在不同历史时期呈现出鲜明的阶段性特征。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	概率论与数理统计作为数学的重要分支，其发展历程跨越了四个多世纪。从最初对赌博游戏的简单计算，到如今成为数据科学的核心基础，这一学科经历了多次理论突破和方法创新。本文旨在通过历史视角，系统梳理概率统计理论发展的关键节点，揭示其内在的逻辑演进规律。
	
	\section{早期萌芽阶段（17世纪前）}
	\subsection{古代随机现象的观察}
	早在古希腊时期，亚里士多德等哲学家就讨论过偶然性问题。古罗马人也注意到骰子游戏的随机性，但缺乏系统的数学分析。
	
	\subsection{文艺复兴时期的奠基}
	\begin{itemize}
		\item 卡尔达诺(1501-1576)在《论赌博游戏》中首次尝试概率计算
		\item 伽利略(1564-1642)研究骰子问题的数学规律
	\end{itemize}
	
	\section{古典概率论时期（17-18世纪）}
	\subsection{概率论的诞生}
	1654年帕斯卡与费马的通信标志着概率论的正式诞生。他们解决了著名的"点数问题"：
	
	\begin{theorem}[点数问题解]
		设两位玩家各需得分$a$和$b$赢得比赛，当前比分$i:j$，则第一位玩家的获胜概率为：
		$$P = \frac{\sum_{k=0}^{b-j-1}\binom{a+b-i-j-1}{k}}{2^{a+b-i-j-1}}$$
	\end{theorem}
	
	\subsection{重要理论突破}
	\begin{table}[h]
		\centering
		\caption{古典概率论主要贡献}
		\begin{tabular}{lll}
			\toprule
			学者 & 贡献 & 年份 \\
			\midrule
			惠更斯 & 《论赌博中的计算》 & 1657 \\
			雅各布·伯努利 & 大数定律 & 1713 \\
			棣莫弗 & 正态近似 & 1733 \\
			贝叶斯 & 逆概率理论 & 1763 \\
			\bottomrule
		\end{tabular}
	\end{table}
	
	\section{数学理论严格化（19世纪）}
	\subsection{分析方法的引入}
	拉普拉斯将分析方法引入概率论：
	
	\begin{equation}
		P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}
	\end{equation}
	
	\subsection{俄国概率学派}
	切比雪夫及其学生马尔可夫发展了不等式理论和随机过程：
	
	\begin{theorem}[切比雪夫不等式]
		对任意随机变量$X$有：
		$$P(|X-\mu|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}$$
	\end{theorem}
	
	\section{现代公理化体系（20世纪）}
	\subsection{柯尔莫哥洛夫公理}
	1933年建立的概率公理体系：
	
	\begin{definition}[概率空间]
		三元组$(\Omega,\mathcal{F},P)$满足：
		\begin{enumerate}
			\item $P(A)\geq 0$
			\item $P(\Omega)=1$
			\item 可列可加性
		\end{enumerate}
	\end{definition}
	
	\subsection{统计推断的发展}
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.8\textwidth]{statistics_timeline}
		\caption{现代统计学发展时间线}
	\end{figure}
	
	\section{当代发展（21世纪）}
	\subsection{计算统计方法}
	\begin{itemize}
		\item MCMC算法
		\item Bootstrap重抽样
	\end{itemize}
	
	\subsection{机器学习中的概率统计}
	深度学习中概率图模型的应用：
	
	\begin{equation}
		p(x) = \prod_{i=1}^n p(x_i|\text{pa}(x_i))
	\end{equation}
	
	\section{结论}
	概率统计的发展历程表明：
	\begin{enumerate}
		\item 理论发展源于实际问题
		\item 严格化过程推动学科成熟
		\item 计算方法拓展应用边界
	\end{enumerate}
	
	未来，随着大数据时代的到来，概率统计理论将继续发挥重要作用。
